Il realismo locale e le disuguaglianze di Bell

Il realismo locale e le disuguaglianze di Bell

Cerchiamo di capire come funziona il teorema di Bell attraverso semplici esempi. In questo modo possiamo sperabilmente capire come funziona la correlazione quantistica e come può essere distinta da quella classica, in cui si assume valido il principio di località.
Innanzitutto cerchiamo di figurarci cos’è la località e perché è così importante nel metodo scientifico.
Noi viviamo in un universo che è infinitamente vasto e straordinariamente interconnesso. Non è di fatto possibile separare un oggetto dal resto del mondo; tuttavia per studiare le leggi universali della Fisica dobbiamo immaginare sistemi semplici, che almeno in linea di principio possano essere considerati separati dal resto dell’universo. Questi sistemi semplici saranno poi interagenti con altri oggetti in modo più o meno intenso: ad esempio immaginiamo la terra separata dal resto del sistema solare, seppur interagente attraverso l’interazione gravitazionale con il sole e gli altri pianeti. Il sistema solare stesso è considerato separato dalla sua galassia, la via lattea, seppur interagente con le altre stelle; le galassie stesse sono considerati sistemi separati seppur interagenti a formare ammassi di galassie e così via. Possiamo anche immaginare sistemi separati sempre più piccoli. La terra è fatta da elementi diversi, distinti eppur interagenti. La catena montuosa dell’Himalaya è separata dal mare e dalle Alpi, seppur tutti fanno parte del pianeta terra. Sulle montagne esistono gli alberi, distinti seppur connessi alla terra; ed esistono un’infinità di forme viventi, distinguibili seppur interagenti attraverso ecosistemi complessi e fortemente interrelati. Ad un livello sempre più minuto possiamo distinguere atomi diversi, anch’essi separabili seppur interagenti attraverso processi chimici. A un livello ancora più fondamentale distinguiamo le particelle elementari, fotoni, elettroni, neutroni, protoni, che formano i 94 elementi naturali; anch’essi li possiamo pensare come aventi una realtà separata, e così tutte le molte varietà di particelle fondamentali, fino ad arrivare ai quark e ai leptoni, che attualmente sembrano essere i costituenti fondamentali dell’universo.
Lo scopo ultimo dello studio delle leggi naturali è quello di descrivere la totalità dell’esistenza, ma per far progressi dobbiamo ammettere che esistono parti di universo che possiamo definire indipendentemente dalla totalità. In questo modo possiamo dire, ad esempio, ecco questo è un tavolo da biliardo e questa è una biglia, e descrivere la loro interazione senza dover tener conto della posizione, per dire, della luna, o di un altro sistema separato da essi che riteniamo ininfluente per la dinamica che stiamo considerando.
Ora proviamo a chiederci: com’è possibile descrivere la realtà di sistemi così fortemente interagenti come separabile?
La risposta è contenuta nell’ipotesi di “realismo locale”. Secondo questo principio noi possiamo pensare una particella, o in generale un oggetto o un sistema, come esistente in una parte limitata dello spazio ad un certo tempo: ora possiamo caratterizzare questo sistema dalle sue proprietà. Noi possiamo assumere che queste proprietà sono descritte da uno stato x, che include la sua massa, la sua carica, la quantità di moto, l’energia e così via. Per sistemi complicati, dobbiamo includere le relazioni tra gli atomi che compongono il sistema, i legami chimici, le proprietà termodinamiche e così via. Non è in realtà necessario che noi conosciamo esattamente lo stato completo di un sistema, quanto piuttosto che tale stato esista in linea di principio.
Nell’ipotesi di realismo locale, o casualità, noi assumiamo che tutte le proprietà rilevanti del sistema sono descritte in modo completo dallo stato x e che possono essere misurate da un apparato posto nelle immediate vicinanze del sistema ed interagente con esso, che possiamo chiamare laboratorio.
Nell’ipotesi di località assumiamo che tutti i risultati sperimentali dipendano solamente dall’apparato locale durante l’esperimento. Ora un evento remoto, diciamo un’interazione con un sistema distante, può avere un effetto sull’esperimento attraverso un certo “disturbo” che si propaga nello spazio con una velocità inferiore o uguale a quella della luce, e produce un effetto solo quando raggiunge il nostro sistema. Questo disturbo quindi produce un effetto solo quando entra nel laboratorio e diventa parte dell’apparato locale nell’esperimento: il risultato dell’esperimento continua ad essere determinato solamente da quanto accade nelle immediate vicinanze del sistema che stiamo caratterizzando, che adesso include il disturbo.
Questa è l’essenza del realismo locale e del principio di causa-effetto, o semplicemente causalità. Un evento remoto non può avere alcun effetto immediato sul nostro esperimento, ma solo dopo un certo tempo che il disturbo impiega a raggiungere il nostro laboratorio locale. Se l’evento remoto accade ad una distanza D dal nostro sistema il tempo minimo è D/c dove c è la velocità della luce.
Da quanto abbiamo detto, dovrebbe essere chiaro come il realismo locale è essenziale per poter determinare la realtà di sistemi separati, e come l’interpretazione di ogni esperimento si possa solo basare sulla causalità.
Tutti gli esperimenti fisici si basano sulla casualità. Non è possibile immaginare un esperimento scientifico che sia a-casuale.
Da qui il paradosso EPR: la scienza si basa su esperimenti che presuppongono il realismo locale come ipotesi di base essenziale, e la meccanica quantistica è la teoria fisica che più di ogni altra si adatta al risultato di innumerevoli esperimenti di natura casuale, seppur statistica. Come è possibile che al suo interno contenga come conseguenza logica un principio a-casuale come l’entanglement, la misteriosa correlazione quantistica? Sembra un’incoerenza inaccettabile per una teoria fisica completa.
Da qui nasce l’ipotesi di Einstein delle “variabili nascoste”, per salvare il realismo locale. Lo stato di un sistema quantistico, per Einstein e i sostenitori del realismo locale, non può essere caratterizzato semplicemente dalla funzione d’onda quantistica descritta dall’equazione di Schroedinger, ma deve essere integrato da variabili nascoste, le quali devono consentire di poter spiegare l’entanglement attraverso nessi casuali e locali tra queste variabili a noi non accessibili.
In realtà Einstein sta cercando di salvare la coerenza della Scienza e del Metodo Scientifico, ipotizzando l’incompletezza della Meccanica Quantistica. Ma il suo tentativo non è riuscito nell’intento: ora noi sappiamo che l’esistenza possiede una natura non locale e a-casuale, e, paradossalmente, lo sappiamo attraverso un processo scientifico casuale, ovvero attraverso esperimenti che si basano su una legge di causa-effetto.
Per alcuni anni si pensò che la realtà di una correlazione quantistica a-casuale, o l’ipotesi delle variabili nascoste, non potesse essere verificata in esperimenti, poiché questi ultimi possono solo dare evidenza diretta di nessi casuali.
Facciamo qualche semplice esempio in modo da renderci conto della criticità della questione. Esistono diversi processi fisici per produrre, in una ristretta regione dello spazio e contemporaneamente, coppie di fotoni entangled in polarizzazione, tali cioè da essere nello stesso stato quantistico, e dette coppie EPR. Questi fotoni si possono poi allontanare ma rimarranno nello stesso stato, che a noi è peraltro ignoto. Supponiamo adesso di avere due laboratori distanti in cui Alice e Bob misurano la polarizzazione dei fotoni EPR lungo una determinata direzione (che può essere scelta in modo arbitrario), ad esempio attraverso un filtro polarizzatore orientato lungo la direzione prescelta. E’ noto che la misura può dare solo due risultati: o il fotone viene assorbito dal filtro (questo possiamo chiamarlo risultato 0), oppure passa attraverso il filtro e in seguito sarà polarizzato completamente lungo la direzione prescelta (possiamo chiamare questo risultato 1). Ripetiamo molte volte il processo di produzione delle coppie entangled e di misura della polarizzazione, in modo da determinare la probabilità di avere 0 o 1 attraverso una media statistica. Supponiamo di ottenere il 50% per entrambi gli stati, che corrisponde ad uno stato di polarizzazione iniziale dei fotoni orientato casualmente. Naturalmente, poiché gli stati dei fotoni entangled sono identici, Alice e Bob otterranno lo stesso risultato in entrambi i laboratori distanti: non è possibile determinare la condizione di entaglement attraverso misure locali, giacché la statistica è identica qualunque cosa stia succedendo nell’altro laboratorio. Alice e Bob possono però sincronizzare le misure in modo da confrontare le misure ottenute sui fotoni entangled, attraverso un circuito di coincidenza. Essi si potrebbero allora rendere conto che esiste infatti una coincidenza esatta, per cui qualunque sia il risultato (0 o 1) ottenuto da Alice, Bob otterrà sempre lo stesso risultato sul fotone compagno. E questo è vero comunque venga prescelta la direzione del polarizzatore.
Einstein tuttavia farebbe notare che queste coincidenze non provano necessariamente una violazione del realismo locale, in quanto la situazione potrebbe essere simile a quella delle biglie bianche e nere del caso classico; vale a dire, la correlazione si è creata all’inizio, nel momento in cui i fotoni erano contemporaneamente nella stessa regione di spazio (e quindi compatibilmente con il realismo locale), ed è già contenuta nello stato dei fotoni attraverso variabili nascoste (una sorta di codice genetico che le particelle hanno in comune, come due gemelli assolutamente identici), anche se a noi rimane ignota fino al momento della misura.
La realtà sperimentale delle coincidenze rende evidente che i fotoni entangled sono effettivamente nello stesso identico stato, ma non viola necessariamente il realismo locale.
Ragion per cui la disputa tra i sostenitori del realismo locale e quelli della visione quantistica ortodossa sembrava destinata a rimanere legata ad opinioni personali soggettive riguardo l’interpretazione dell’apparato matematico della meccanica quantistica.
Invece, come accennato in precedenza, nel 1964 John Bell dimostrò un teorema il quale afferma che “nessuna teoria locale basata sulle variabili nascoste può riprodurre i risultati statistici della meccanica quantistica”. Egli propose un esperimento basato sullo studio statistico di particolari coincidenze tra i risultati di esperimenti effettuati in due o più laboratori per verificare sperimentalmente il principio di realismo locale.
Ora proverò a descrivere in modo semplice l’idea semplice e geniale di John Bell.
Supponiamo di avere una particella nello stato ignoto x e di sottoporla ad un esperimento che possa dare solo due risultati. In modo del tutto generale possiamo chiamare questi due risultati si o no, oppure semplicemente 1 o 0.[1] Chiamiamo questo esperimento test a. Abbiamo poi un secondo test b, e quindi un terzo test c sullo stesso stato x, tutti con solo due possibili risultati, 1 o 0.
Nell’ipotesi di località il risultato di ciascun test dipende solo dalle condizioni dell’apparato sperimentale locale e dallo stato x della particella, vale a dire, se i tre laboratori sono indipendenti, il risultato di un test non dipende dal risultato di un altro.
Ci sono solo 8 possibili risultati dei tre test, che sono riassunti nella tabella che riporto qui di seguito. Nell’ipotesi di località i tre test sono indipendenti e quindi ogni stato del sistema deve essere univocamente collegato ad una sola riga della tabella: lo stesso stato, in presenza delle stesse condizioni dell’apparato di misura, deve dare lo stesso risultato, altrimenti l’ipotesi di realismo locale è violata.

 

Test a Test b Test c a b b c a c
0 0 0
0 0 1
0 1 0 +
0 1 1
1 0 0 + +
1 0 1 +
1 1 0 + +
1 1 1

 

Consideriamo adesso i casi in cui il test a da come risultato 1 e il test b 0; in tabella li chiamo a b. Ci sono due righe (la quinta e la sesta) che verificano questa condizione. Ora consideriamo la situazione in cui la particella produce 1 al test b e 0 al test c (indicato come b c, in tabella). Due righe soddisfano la condizione, la terza e la settima. Infine consideriamo la situazione in cui il test a da 1, e il test c 0 (indicato con a c). Di nuovo ci sono due righe che mostrano questa combinazione, la quinta e la settima. Notiamo adesso la circostanza che ogni volta che accade la situazione descritta come a c, deve accadere in corrispondenza o a b oppure b c. Non esiste alcuna riga in cui accade a c e non accade una delle altre due situazioni.
Supponiamo adesso di prendere un grande numero di particelle in uno stato x casuale, e di sottoporre ogni particella ai 3 test. In questo modo possiamo misure la probabilità statistica che accadano le varie situazioni indicate nella tabella.
Notiamo che dovremo necessariamente avere che

P(a b) + P(b c) > P(a c)

poiché ogni volta che accade a c deve contemporaneamente accadere b c  oppure a b, mentre se accade a b oppure b c non necessariamente accade a c (vedi terza e sesta riga). Il segno di uguale si ha solo nel caso in cui le situazioni descritte dalla terza e sesta riga non accadono mai (vale a dire hanno probabilità zero di accadere).
Abbiamo così ottenuto una disuguaglianza di Bell che può essere sottoposta a verifica sperimentale. In modo simile avremmo potuto ottenere altre disuguaglianze che legano le probabilità statistiche delle coincidenze nell’ipotesi di realismo locale.
Queste disuguaglianze sono conseguenze logiche, assolutamente generali, del principio di realismo locale, per cui la loro violazione, anche solo in condizioni particolari, ci obbliga ad accettare una natura non locale e a-casuale dell’universo in cui viviamo.
L’argomento di Bell prosegue poi dimostrando matematicamente che la meccanica quantistica viola le disuguaglianze attraverso il fenomeno dell’entanglement, mentre ogni teoria che conservi il realismo locale attraverso l’ipotesi di variabili nascoste non può farlo.
L’esistenza effettiva del fenomeno dell’entanglement è stata dimostrata più volte sperimentalmente nel corso dei passati decenni, nell’ambito di un filone di ricerca chiamato teletrasporto quantistico. Le disuguaglianze di Bell sono state violate più volte, in diverse forme e in vari esperimenti che hanno usato coppie EPR di fotoni e/o di elettroni. I sostenitori del realismo locale hanno tuttavia cercato in questi risultati la possibilità di potenziali “scappatoie” che potessero “salvare” il principio di realismo locale (detti comunemente loopholes, un termine inglese): piccoli e alquanto improbabili dettagli che l’assetto sperimentale non fosse riuscito ad escludere completamente.
Sono state ipotizzate scappatoie relative alla separazione causale fra i due laboratori di volta in volta coinvolti: per mettere in crisi il principio di località con il rigore richiesto, questi devono essere sufficientemente distanti fra loro e dotati di apparati sufficientemente veloci da garantire che, anche comunicando alla velocità della luce attraverso segnali a noi sconosciuti, non possano scambiarsi informazioni sui rispettivi stati e risultati. Oppure si possono ipotizzare scappatoie relative all’efficienza del sistema di misura.
Tuttavia entrambe queste due potenziali falle metodologiche, una volta identificate, sono state gestite con successo ed evitate in nuovi esperimenti che hanno sempre mostrato la violazione delle disuguaglianze di Bell. Nel 2015 è stato infine pubblicato su Nature un esperimento intitolato “Experimental loophole-free violation of a Bell inequality using entangled electron spins separated by 1.3 km”, che tradotto si legge “Evidenza sperimentale senza possibili scappatoie della violazione di una disuguaglianza di Bell ottenuta usando lo spin di elettroni entangled separati da 1,3 km”.
L’evidenza sperimentale della violazione delle diseguaglianze di Bell da parte di fotoni ed elettroni (nonché altri sistemi “mesoscopici”, di cui parlerò in seguito) ci obbliga ad accettare la natura non locale della realtà; non esistono scappatoie![2]
Questo è tremendamente difficile da accettare per una visione classica del mondo. Tuttavia la Fisica Quantistica afferma che viviamo in un universo quantisticamente interconnesso, il quale costituisce, nella sua più intima essenza, un’unità non rappresentabile da componenti separati o separabili.


Note

[1] Prendiamo questo semplice esempio per illustrare le disuguaglianze di Bell in un caso che si può poi applicare direttamente alla polarizzazione dei fotoni, o lo spin degli elettroni: le disuguaglianze tuttavia possono essere dimostrate in una forma molto generale, e richiedono esclusivamente l’ipotesi di realismo locale. Una violazione di queste disuguaglianze porta necessariamente ad abbandonare la certezza del realismo locale.

[2] Seppure si dovesse un giorno riconoscere che l’interpretazione ortodossa della meccanica quantistica debba essere sostituita da altre teorie, comunque queste nuove teorie dovrebbero continuare a rappresentare la natura non locale della realtà, resa evidente dalla violazione delle disuguaglianze di Bell.

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